Комбинаторика, 11 класс — тест по главе 11

Вся комбинаторика школьного курса держится на одном вопросе: важен ли порядок выбранных элементов. Ответ на него сразу определяет, какая из трёх формул нужна в задаче.

Что проверяется

Правило произведения и правило суммы при подсчёте числа вариантов, разбор задач с последовательным выбором. Перестановки и факториал, число перестановок из данного количества элементов, перестановки с ограничениями. Размещения: выбор нескольких элементов из данного множества с учётом порядка, формула числа размещений. Сочетания: выбор без учёта порядка, формула числа сочетаний и её связь с размещениями. Свойства сочетаний, симметрия и правило треугольника Паскаля. Бином Ньютона, биномиальные коэффициенты и нахождение отдельного члена разложения.

Порядок важен или нет

Размещения и сочетания отличаются ровно одним: в размещениях порядок учитывается, в сочетаниях нет. Число сочетаний меньше числа размещений во столько раз, сколько перестановок можно сделать из выбранных элементов, — и это соотношение позволяет проверить ответ, не заглядывая в формулу.

Правило произведения важнее формул

Большинство школьных задач решается умножением числа вариантов на каждом шаге выбора. Формулы перестановок, размещений и сочетаний — лишь свёрнутая запись того же рассуждения, и работа проверяет умение вести подсчёт напрямую.

Как устроена работа

Одиннадцать заданий: подсчёт вариантов по правилу произведения, вычисление факториала и числа перестановок, различение размещений и сочетаний, свойства биномиальных коэффициентов, соответствие между задачей и подходящей формулой, выбор всех верных утверждений и восстановление пропусков в определениях. Каждое задание сопровождается разбором с явным подсчётом. Работа занимает около двадцати пяти минут, отметка ставится по шкале пятьдесят, семьдесят и восемьдесят пять процентов.

Условия прохождения

Работа доступна и на компьютере, и на мобильном телефоне: интерфейс сам подстраивается под размер экрана. Поскольку для работы можно указать окно выполнения, ученики вправе проходить её дистанционно, из дома. Чтобы снизить риск списывания, фиксируются попытки переключиться на другие вкладки браузера или другие приложения.