Многогранники, вписанные в сферу и описанные около сферы — тест

Описать сферу можно не около всякой призмы: её основания обязаны быть многоугольниками, около которых описывается окружность. Условие проверяется до всяких вычислений.

Что проверяется

Сфера, описанная около многогранника: все вершины лежат на сфере, положение центра как точки, равноудалённой от всех вершин, — на пересечении перпендикуляров к граням через центры описанных окружностей. Условие существования описанной сферы для призмы: призма прямая и около её основания можно описать окружность. Описанная сфера пирамиды: центр лежит на перпендикуляре к основанию через центр описанной окружности, вычисление радиуса через высоту и радиус основания. Радиус сферы, описанной около куба и прямоугольного параллелепипеда, — половина диагонали. Сфера, вписанная в многогранник: касание всех граней, центр равноудалён от всех граней, условие существования для призмы и пирамиды. Радиус сферы, вписанной в куб, — половина ребра. Вычисление радиусов вписанной и описанной сфер в типовых комбинациях, соотношение этих радиусов.

Центр описанной сферы

Он равноудалён от всех вершин, поэтому лежит на перпендикуляре к плоскости основания, восставленном из центра описанной около основания окружности. Дальше положение уточняют условием равенства расстояний до вершины.

Куб — удобный ориентир

У куба с ребром $a$ радиус описанной сферы равен половине диагонали, а вписанной — половине ребра. Эти два числа полезно помнить как контрольные.

Как устроена работа

Одиннадцать заданий: выбор варианта, соответствие между многогранником и радиусом описанной около него сферы, восстановление пропусков, упорядочивание шагов нахождения центра описанной сферы и расчёты радиусов. Разбор к каждому заданию показывает ход вычислений. Работа рассчитана примерно на двадцать пять минут, отметка выставляется по шкале пятьдесят, семьдесят и восемьдесят пять процентов. Отдельные вопросы посвящены условию существования описанной сферы и вписанной сфере куба.

Организация тестирования

Работа доступна и на компьютере, и на мобильном телефоне: интерфейс сам подстраивается под размер экрана. Поскольку для работы можно указать окно выполнения, ученики вправе проходить её дистанционно, из дома. Система контроля добросовестности регистрирует переходы в посторонние вкладки и приложения во время выполнения.