Параграф без новой теории: он о том, как увидеть на чертеже равные треугольники, которых там пока нет. Приём всегда один — что-то достроить, и чаще всего достраивают до параллелограмма.
Что нужно знать
- Удвоение медианы. Медиану $AM$ продлевают за середину стороны на её же длину до точки $K$. Тогда $ABKC$ — параллелограмм: его диагонали $AK$ и $BC$ делятся точкой $M$ пополам.
- Отсюда сразу $BK = AC$ и $CK = AB$: стороны треугольника «переехали» в одну конфигурацию.
- Оценка медианы: в треугольнике со сторонами $a$, $b$ и удвоенной медианой $2m$ работает неравенство треугольника, то есть $|a-b| \lt 2m \lt a+b$. При сторонах $5$ и $9$ медиана лежит между $2$ и $7$.
- Прямая через середину стороны. Проводят её до пересечения с прямой другой стороны и получают равные треугольники по второму признаку: половинки стороны равны, углы при вершине вертикальные, накрест лежащие углы равны при параллельных.
- Прямая, параллельная стороне. Даёт равные накрест лежащие и соответственные углы без всяких вычислений.
- Перенос диагонали или стороны параллельно самой себе достраивает трапецию до треугольника или параллелограмма.
Где чаще всего ошибаются
- Продлевают медиану «на глаз», а не ровно на её длину — тогда параллелограмма не получается и всё рассуждение рушится.
- Считают, что построение само по себе что-то доказывает. Доказательство всё равно опирается на признак равенства или признак параллелограмма.
- Ищут единственно верное построение. К одной задаче подходят разные; верно то, что даёт нужные равные элементы.
- Забывают проверить, что полученная точка лежит там, где предполагалось (например, на стороне, а не на её продолжении).
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 8 класс · Волчкевич, 2021 · §2 · Дополнительные построения