Вступительная работа в 8 класс «Математической вертикали»: степени и тождества, уравнения с параметром, делимость, задачи на логику, часы и треугольники — тренировочный вариант

В 8 класс «Математической вертикали» можно поступить и не с начала проекта: в конце августа проходит вступительная работа по программе 7 класса. Она сложнее обычной контрольной — проверяет не только алгоритмы, но и умение заметить приём: вынести степень, найти цикл последних цифр, рассуждать в логической задаче. Тренировочный вариант собран в этом духе.

Что проверяется

Преобразование выражений со степенями и вынесение общего множителя. Тождество для суммы квадрата числа и квадрата обратного. Уравнение с параметром, не имеющее корней. Последняя цифра степени, число натуральных делителей, признак делимости на 11. Формулы сокращённого умножения. Линейная функция и её параметры. Сравнение десятичных дробей и степеней. Углы между стрелками часов, диагонали многоугольника, периметр равнобедренного треугольника, геометрические места точек, логика «рыцари и лжецы».

Задания

Пятнадцать заданий на шестьдесят минут: большинство с числовым ответом, выбор числа, делящегося на 11, и вывода в логической задаче, сопоставление произведения и результата, упорядочивание дробей, пропуски о коэффициентах линейной функции и выбор верных утверждений о геометрических местах точек.

Разбор

Пояснения показывают, как упростить дробь со степенями двойки вынесением множителя, как из суммы числа и обратного получить сумму их квадратов, почему последняя цифра степени тройки повторяется через четыре шага и почему житель, назвавший себя лжецом вместе с другом, сам лжец.

Назначение

Работа подходит семиклассникам других школ, которые собираются поступать в 8 класс проекта, и ученикам вертикали для летнего повторения перед вторым годом. Первый год проекта: углублённые алгебра, геометрия, вероятность и статистика по пособиям МЦНМО. По календарю 2026/27 в январе проходят письменные промежуточные работы по алгебре и геометрии, в марте — по вероятности и статистике, весной — итоговая диагностика МЦКО. Работы курса — тренировочные к каждой из них; задания составлены для платформы и не повторяют контрольных проекта. Эта работа — пятая из 5 по курсу.

Как проходит работа

Задания открываются в браузере на компьютере, планшете или мобильном телефоне, поэтому подойдёт любое устройство под рукой. Поскольку для работы можно указать окно выполнения, ученики вправе проходить её дистанционно, из дома. Предусмотрен контроль честности: переключение на другие вкладки и приложения во время теста отслеживается.