Главное в главе — иррациональные уравнения и понятие равносильности. Возведение в квадрат упрощает уравнение, но может добавить посторонний корень, поэтому проверка здесь — обязательный шаг, а не формальность.
Что нужно знать
- Равносильные уравнения имеют одинаковые множества корней.
- Шаги: возвести обе части в квадрат, решить полученное уравнение, проверить корни подстановкой в исходное.
- $\sqrt{x + 7} = x - 5$: $x + 7 = x^2 - 10x + 25$, корни 9 и 2. Проверка отбрасывает 2: $\sqrt{9} = 3$, а $2 - 5 = -3$. Ответ 9.
- $\sqrt{2x + 3} = 5$: $2x + 3 = 25$, $x = 11$.
- $\sqrt{x} = -4$ решений не имеет: арифметический корень неотрицателен.
- $\sqrt{x - 1} \lt 3$: $1 \le x \lt 10$ — не забыть область определения; целых решений 9.
- $y = x^{-2}$ при $x = 5$ равно $0{,}04$; $y = x^{-1}$ и $y = x^3$ нечётные.
- Обратная к $y = 3x - 6$: выразить $x$ и поменять буквы, $y = \dfrac{x}{3} + 2$.
Где чаще всего ошибаются
- Не проверяют корни после возведения в квадрат.
- В неравенстве с корнем забывают условие неотрицательности подкоренного выражения.
- Возводят в квадрат только левую часть.
- Для обратной функции меняют знаки, а не выражают $x$.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Алгебра · 10 класс · Алимов, 2023 · Глава 2 · Степенная функция