Показательные уравнения и неравенства решают одним приёмом — привести к одному основанию и сравнить показатели. Для неравенств добавляется правило: при основании меньше 1 знак меняется.
Что нужно знать
- $y = a^x$ при $a \gt 0$, $a \ne 1$: все значения положительны, график проходит через $(0; 1)$.
- При $a \gt 1$ функция возрастает, при $0 \lt a \lt 1$ — убывает: $\left(\dfrac12\right)^x$ убывает.
- $2^x = 64 = 2^6$, $x = 6$; $3^{2x - 1} = 27 = 3^3$, $x = 2$.
- Вынесение общего множителя: $5^{x+1} + 5^x = 6 \cdot 5^x = 150$, $5^x = 25$, $x = 2$.
- Замена: $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$, $t = 2^x \gt 0$, $t = 1$ или 4, $x = 0$ или 2 — сумма корней 2.
- $\left(\dfrac13\right)^x \gt \dfrac1{81} = \left(\dfrac13\right)^4$: основание меньше 1, знак меняется, $x \lt 4$; наибольшее целое 3.
- Система: $2^{x+y} = 32$ и $2^{x-y} = 2$ дают $x + y = 5$, $x - y = 1$, $x = 3$.
Где чаще всего ошибаются
- Не меняют знак неравенства при основании меньше 1.
- Принимают отрицательный корень $t$ после замены.
- Считают $5^{x+1} + 5^x = 5^{2x+1}$.
- Думают, что $a^x$ может быть нулём.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Алгебра · 10 класс · Алимов, 2023 · Глава 3 · Показательная функция