Логарифм — показатель степени: $\log_a b$ отвечает на вопрос, в какую степень возвести $a$, чтобы получить $b$. Все свойства выводятся из свойств степеней, а область определения ограничивает каждое решение.
Что нужно знать
- $\log_3 81 = 4$; $a^{\log_a b} = b$.
- $\log_a x$ определён при $x \gt 0$, $a \gt 0$, $a \ne 1$: $\log_2(x - 4)$ — при $x \gt 4$.
- $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$: $\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 36 = 2$.
- $\log_a b^k = k\log_a b$: при $\log_a 2 = m$ получаем $\log_a 8 = 3m$.
- Переход к новому основанию: $\dfrac{\log_2 27}{\log_2 3} = \log_3 27 = 3$.
- Уравнение: область определения, объединение логарифмов, переход к аргументам, отбор корней. $\log_2(x - 1) + \log_2(x + 1) = 3$: $x^2 - 1 = 8$, $x = \pm 3$, подходит 3.
- $\log_{0{,}5} x \gt 1$: основание меньше 1, знак меняется, $0 \lt x \lt 0{,}5$.
Где чаще всего ошибаются
- Оставляют корень $-3$, при котором логарифмы не определены.
- Пишут $\log(x + y) = \log x + \log y$.
- Забывают условие $x \gt 0$ в ответе неравенства.
- Делят логарифмы вместо перехода к новому основанию.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Алгебра · 10 класс · Алимов, 2023 · Глава 4 · Логарифмическая функция