Простейшее тригонометрическое уравнение имеет бесконечно много корней, и ответ записывают серией с параметром $n$. Сложные уравнения сводят к простейшим заменой или разложением на множители.
Что нужно знать
- $\cos x = a$ и $\sin x = a$ имеют решения только при $|a| \le 1$: $\sin x = 2$ корней не имеет.
- $\cos x = \dfrac12$: $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$. Арккосинус берётся из $[0; \pi]$.
- $\cos x = 0$ на $[0; 2\pi]$ — два корня: $\dfrac{\pi}{2}$ и $\dfrac{3\pi}{2}$.
- Произведение равно нулю: $\sin x\cos x = 0$ даёт $x = \dfrac{\pi n}{2}$.
- Квадратное относительно синуса: $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$, $t = \sin x$, $t = 1$ или $\dfrac12$; наименьший положительный корень $30^\circ$.
- Шаги замены: ввести $t$, решить квадратное, отбросить $|t| \gt 1$, вернуться к $x$ и записать серии.
- Однородное $\sin x = \sqrt3\cos x$ делят на $\cos x$: $\operatorname{tg} x = \sqrt3$, $x = \dfrac{\pi}{3} + \pi n$.
Где чаще всего ошибаются
- Записывают один корень вместо серии.
- Для тангенса берут период $2\pi$ вместо $\pi$.
- Не отбрасывают значение $t$ вне $[-1; 1]$.
- Делят на $\sin x$ или $\cos x$ и теряют корни, где он равен нулю.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Алгебра · 10 класс · Алимов, 2023 · Глава 6 · Тригонометрические уравнения