Производная — скорость изменения функции и угловой коэффициент касательной одновременно. Таблица производных и три правила дифференцирования покрывают почти все задания главы.
Что нужно знать
- Производная — предел отношения приращения функции к приращению аргумента. $(C)' = 0$, $(x^n)' = nx^{n-1}$.
- $y = x^2$: $y'(4) = 8$. $y = 3x^2 - 4x + 1$: $y' = 6x - 4$, в точке 2 это 8.
- Произведение: $(uv)' = u'v + uv'$: $(x^2\sin x)' = 2x\sin x + x^2\cos x$.
- Значение производной в точке — угловой коэффициент касательной: для $x^3 - 6x$ в точке 2 это $3 \cdot 4 - 6 = 6$.
- Касательная по шагам: найти $f(x_0)$ и $f'(x_0)$, подставить в $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Для $x^2$ в точке 3: $y = 6x - 9$.
- Касательная параллельна оси абсцисс там, где производная равна нулю: у $x^3 - 3x$ это $x = \pm 1$, две точки.
Где чаще всего ошибаются
- Считают производную произведения произведением производных.
- Пишут производную константы равной самой константе.
- В уравнении касательной подставляют $x$ вместо $x_0$ в $f'$.
- Путают значение функции и значение производной.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Алгебра · 11 класс · Алимов, 2023 · Глава 8 · Производная и её геометрический смысл