Знак производной говорит, возрастает функция или убывает, а смена знака — где экстремум. Нуль производной необходим для экстремума, но не достаточен, и $y = x^3$ — главный пример.
Что нужно знать
- $f' \gt 0$ — функция возрастает, $f' \lt 0$ — убывает.
- Стационарная точка — где $f' = 0$. У $x^2 - 8x + 1$ она одна, $x = 4$; функция возрастает на $[4; +\infty)$, $x = 4$ — точка минимума.
- Экстремум есть, только если производная меняет знак. У $x^3$ производная $3x^2$ неотрицательна с обеих сторон нуля — экстремума нет.
- $y = x^3 - 3x$: $y' = 3x^2 - 3$, при $x = -1$ максимум, при $x = 1$ минимум.
- Наибольшее на отрезке по шагам: найти стационарные точки внутри отрезка, вычислить значения в них и на концах, выбрать большее.
- Для $x^3 - 3x$ на $[0; 3]$: 0, $-2$, 18 — наибольшее 18, на конце.
- Прикладная задача: при периметре 40 площадь $x(20 - x)$ наибольшая при $x = 10$ — квадрат, 100 см².
Где чаще всего ошибаются
- Объявляют экстремумом любую точку с нулевой производной.
- Не проверяют концы отрезка.
- Путают точку экстремума со значением функции в ней.
- Берут стационарную точку вне заданного отрезка.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Алгебра · 11 класс · Алимов, 2023 · Глава 9 · Применение производной к исследованию функций