Интеграл, 11 класс — тест по главе 10

Интегрирование — это дифференцирование, прочитанное справа налево. Всё, что нужно для вычисления площади под кривой, уже известно: остаётся найти функцию, производная которой стоит под знаком интеграла.

Что проверяется

Первообразная функции и её определение через равенство производной, общий вид первообразных и роль постоянной слагаемого. Таблица первообразных для степенной функции, синуса, косинуса, показательной функции и обратной пропорциональности. Правила нахождения первообразных: первообразная суммы, произведения на число, случай линейной замены аргумента. Криволинейная трапеция и задача о её площади, интегральная сумма и определённый интеграл. Формула Ньютона — Лейбница, вычисление определённых интегралов и площадей фигур, ограниченных графиками. Применение производной и интеграла к практическим задачам о движении и работе.

Постоянная слагаемого — не мелочь

Первообразных у функции бесконечно много, и все они отличаются постоянным слагаемым. При вычислении определённого интеграла эта постоянная сокращается, но в задачах на восстановление функции по её производной именно она находится из дополнительного условия.

Площадь и интеграл совпадают не всегда

Формула Ньютона — Лейбница даёт площадь криволинейной трапеции только там, где функция неотрицательна. Если график уходит под ось абсцисс, интеграл получается отрицательным, и площадь считают по модулю или по частям — этому посвящено отдельное задание работы.

Как устроена работа

Одиннадцать заданий: проверка первообразной подстановкой, нахождение первообразной по таблице и правилам, вычисление определённого интеграла, площадь под графиком, восстановление функции по производной и начальному условию, соответствие между функцией и её первообразной, выбор всех верных утверждений. Каждое задание сопровождается разбором. Работа рассчитана на двадцать пять минут, шкала отметок — пятьдесят, семьдесят и восемьдесят пять процентов.

Форматы и условия прохождения

Ученик отвечает как с компьютера, так и с телефона; специальные программы не требуются — тест открывается в обычном браузере. Поскольку для работы можно указать окно выполнения, ученики вправе проходить её дистанционно, из дома. Система контроля добросовестности регистрирует переходы в посторонние вкладки и приложения во время выполнения.