Первообразная — действие, обратное дифференцированию, а определённый интеграл — площадь под графиком. Связывает их формула Ньютона — Лейбница, и почти каждое задание — её применение.
Что нужно знать
- $F$ — первообразная для $f$, если $F'(x) = f(x)$. Для $2x$ это $x^2 + C$; первообразные отличаются на постоянную.
- Первообразная через точку: для $4x$ это $2x^2 + C$, при $F(1) = 5$ $C = 3$.
- Ньютон — Лейбниц: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. $\int_0^3 2x\,dx = 9$, $\int_0^3 x^2\,dx = 9$.
- Площадь криволинейной трапеции по шагам: убедиться, что функция неотрицательна, найти первообразную, подставить пределы, вычесть.
- Под $y = x^2$ от 1 до 2: $\dfrac83 - \dfrac13 = \dfrac73$.
- Путь по скорости: $\int_0^2 3t^2\,dt = 8$ м.
- $\int_0^\pi \sin x\,dx = 2 \gt 0$: на $(0; \pi)$ синус положителен, и интеграл равен площади.
Где чаще всего ошибаются
- Вычитают в обратном порядке: $F(a) - F(b)$.
- Забывают постоянную $C$ в первообразной.
- Дифференцируют вместо интегрирования.
- Считают площадью интеграл от функции, меняющей знак.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.