Глава расширяет понятие степени дважды: сначала на нулевой и отрицательный показатели, потом на дробный. Вычисления удобно вести по шагам — сначала корень, потом степень.
Что нужно знать
- $a^0 = 1$ при $a \ne 0$; $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.
- $\left(\dfrac25\right)^{-2} = \left(\dfrac52\right)^2 = \dfrac{25}{4}$ — дробь переворачивают, знак показателя меняется.
- $\sqrt[3]{64} = 4$; $\sqrt[4]{81} \cdot 5^0 = 3$.
- $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$: знаменатель — степень корня.
- Шаги для $16^{\frac34}$: корень четвёртой степени из 16 — 2, в куб — 8.
- $\dfrac{a^7 \cdot a^{-3}}{a^2} = a^2$, при $a = 5$ это 25.
- Корень нечётной степени из отрицательного числа существует: $\sqrt[3]{-125} = -5$; чётной — нет.
- При $0 \lt a \lt b$ обратные числа меняют порядок: $a^{-1} \gt b^{-1}$.
Где чаще всего ошибаются
- Считают $a^{-2}$ отрицательным числом.
- Путают знаменатель и числитель дробного показателя.
- Считают, что $\sqrt[3]{-125}$ не существует.
- Сохраняют знак неравенства для обратных чисел.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Алгебра · 9 класс · Колягин, 2022 · Глава 1 · Степень с рациональным показателем