Нелинейные системы девятого класса: к подстановке и сложению добавляются замена переменных и симметричные системы. Графическая картинка по-прежнему подсказывает, сколько решений ожидать.
Что нужно знать
- График уравнения с двумя переменными — множество точек, координаты которых обращают равенство в верное.
- $x^2 + y^2 = r^2$ задаёт окружность с центром в начале координат, $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ — со смещённым центром.
- Способ подстановки применим всегда; способ сложения удобен при одинаковых квадратичных членах.
- Симметричные системы решают заменой $u = x + y$, $v = xy$.
- Число решений равно числу общих точек графиков — прикидка по рисунку страхует от потери корня.
- Возведение уравнения в квадрат может добавить посторонние решения, поэтому проверка обязательна.
- Ответ — перечень пар, каждая в скобках через точку с запятой.
Где чаще всего ошибаются
- Комбинируют все найденные $x$ со всеми найденными $y$, получая лишние пары.
- Теряют решения, разделив уравнение на выражение с переменной.
- Не выполняют проверку после возведения в квадрат.
- Забывают вернуться от вспомогательных переменных $u$ и $v$ к исходным.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Алгебра · 9 класс · Макарычев, 2023 · Глава 7 · Уравнения с двумя переменными и их системы