Первая изученная числовая последовательность. Две формулы — общего члена и суммы — закрывают почти все задачи, а всё остальное сводится к аккуратной подстановке и внимательности к номеру члена.
Что нужно знать
- Арифметическая прогрессия — последовательность, где каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа $d$, называемого разностью.
- Рекуррентно: $a_{n+1} = a_n + d$, откуда $d = a_{n+1} - a_n$.
- Формула общего члена: $a_n = a_1 + (n - 1)d$. Множитель именно $(n - 1)$, а не $n$.
- Сумма первых $n$ членов: $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
- Если последний член неизвестен: $S_n = \dfrac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n$.
- Характеристическое свойство: каждый член, кроме крайних, равен среднему арифметическому соседей: $a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$.
- При $d \gt 0$ прогрессия возрастает, при $d \lt 0$ убывает, при $d = 0$ постоянна.
Где чаще всего ошибаются
- Пишут в формуле общего члена $nd$ вместо $(n - 1)d$ — ответ смещается ровно на одну разность.
- Находят разность делением соседних членов, путая с геометрической прогрессией.
- Считая сумму, забывают множитель $n$ или делят на $2$ дважды.
- Определяют количество членов как разность номеров, забыв прибавить единицу.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Алгебра · 9 класс · Макарычев, 2023 · Глава 9 · Арифметическая прогрессия