Здесь члены не прибавляются, а умножаются, и растут они несравнимо быстрее. Формулы похожи на формулы арифметической прогрессии по виду, но различаются по сути — путать их нельзя.
Что нужно знать
- Геометрическая прогрессия — последовательность, где каждый следующий член получается умножением на одно и то же число $q \ne 0$, называемое знаменателем.
- Первый член отличен от нуля; отсюда и все остальные не равны нулю.
- Рекуррентно: $b_{n+1} = b_n q$, откуда $q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n}$.
- Формула общего члена: $b_n = b_1 q^{\,n-1}$.
- Сумма первых $n$ членов при $q \ne 1$: $S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. При $q = 1$ просто $S_n = b_1 n$.
- Характеристическое свойство: $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$.
- Бесконечно убывающая прогрессия — та, у которой $|q| \lt 1$; её сумма равна $S = \dfrac{b_1}{1 - q}$.
Где чаще всего ошибаются
- Ставят в формуле общего члена показатель $n$ вместо $n - 1$.
- Применяют формулу суммы при $q = 1$ и делят на нуль.
- Ищут знаменатель вычитанием соседних членов.
- Пользуются формулой бесконечной суммы при $|q| \ge 1$, где ряд не сходится и суммы не существует.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Алгебра · 9 класс · Макарычев, 2023 · Глава 10 · Геометрическая прогрессия