Здесь появляется главное понятие курса — равносильность. Решать уравнение значит заменять его более простым, но с тем же множеством корней; шаги, которые это множество меняют, и есть источник ошибок.
Что нужно знать
- Корень уравнения — значение переменной, при котором равенство верно. Решить уравнение значит найти все корни или доказать, что их нет.
- Уравнения равносильны, если у них одно и то же множество корней.
- Слагаемое переносят из части в часть, изменив его знак.
- Обе части можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, — корни не изменятся.
- Линейное уравнение $ax = b$ разбирается по случаям: при $a \ne 0$ единственный корень $x = \dfrac{b}{a}$; при $a = 0$ и $b \ne 0$ корней нет; при $a = 0$ и $b = 0$ корень любой.
- Уравнение вида $\dfrac{x}{a} = \dfrac{c}{d}$ решают основным свойством пропорции.
- В текстовой задаче сначала обозначают за $x$ искомое, затем выражают через него остальные величины и составляют равенство.
Где чаще всего ошибаются
- Делят обе части на выражение с переменной и теряют корень: из $x^2 = 3x$ после деления на $x$ пропадает $x = 0$.
- Разбирая $ax = b$, забывают случай $a = 0$ и уверенно пишут $x = \dfrac{b}{a}$.
- Переносят слагаемое, не меняя его знак.
- В текстовой задаче находят $x$ и записывают его в ответ, хотя спрашивали другую величину.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Алгебра · 7 класс · Макарычев, 2023 · Глава 3 · Уравнения с одной переменной