Две формулы сокращённого умножения, которые экономят время на каждой контрольной до одиннадцатого класса. Обе читаются в обе стороны: слева направо — возведение в квадрат, справа налево — разложение.
Что нужно знать
- Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
- Квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Последний член положителен в обеих формулах.
- Удвоенное произведение — среднее слагаемое; именно оно отличает эти формулы от неверного «квадрата почленно».
- Справа налево формулы дают разложение: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$.
- Трёхчлен $a^2 \pm 2ab + b^2$ называют полным квадратом.
- Формулы верны для любых выражений, не только для букв: $(2x - 5y)^2 = 4x^2 - 20xy + 25y^2$.
- Для устного счёта: $41^2 = (40 + 1)^2 = 1600 + 80 + 1 = 1681$.
Где чаще всего ошибаются
- Пишут $(a + b)^2 = a^2 + b^2$, забывая удвоенное произведение. Это самая частая ошибка всего курса алгебры.
- Ставят минус перед $b^2$ в квадрате разности.
- Возводя в квадрат $2x$, забывают возвести коэффициент и получают $2x^2$ вместо $4x^2$.
- Принимают за полный квадрат трёхчлен, у которого среднее слагаемое не равно удвоенному произведению.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Алгебра · 7 класс · Макарычев, 2023 · Глава 11 · Квадрат суммы и квадрат разности