Ещё три формулы сокращённого умножения. Важно помнить не только их вид, но и границы: разность квадратов раскладывается, а сумма — нет, и это не забывчивость авторов учебника, а факт.
Что нужно знать
- Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
- Сумма квадратов $a^2 + b^2$ на множители с рациональными коэффициентами не раскладывается.
- Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
- Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
- Второй множитель называют неполным квадратом: в нём стоит $ab$, а не $2ab$, и знак у него противоположен знаку в первой скобке.
- Куб суммы и разности: $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$.
- Разность квадратов удобна для устного счёта: $51 \cdot 49 = (50 + 1)(50 - 1) = 2500 - 1 = 2499$.
Где чаще всего ошибаются
- Раскладывают сумму квадратов как $(a + b)(a + b)$ — это неверно, $(a+b)^2$ даёт лишнее слагаемое $2ab$.
- Ставят в неполном квадрате $2ab$ вместо $ab$, путая формулу с квадратом суммы.
- Ошибаются со знаком в неполном квадрате: у суммы кубов там минус, у разности плюс.
- Не видят разность квадратов, когда она замаскирована: $9x^2 - 16 = (3x - 4)(3x + 4)$.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Алгебра · 7 класс · Макарычев, 2023 · Глава 12 · Разность квадратов, сумма и разность кубов