Алгебраическая дробь устроена как обыкновенная, но появляется новое обстоятельство: знаменатель содержит переменную и может обратиться в нуль. Отсюда область допустимых значений — то, что спрашивают в каждом втором задании главы.
Что нужно знать
- Рациональная дробь — выражение $\dfrac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — многочлены, причём $Q$ содержит переменную.
- Допустимы только те значения переменной, при которых знаменатель не равен нулю.
- Основное свойство: числитель и знаменатель можно умножить или разделить на один и тот же многочлен, не равный нулю.
- Сокращение возможно только для множителей, поэтому числитель и знаменатель сначала раскладывают на множители.
- Дроби с одинаковыми знаменателями складывают, складывая числители.
- С разными знаменателями — приводят к общему: раскладывают знаменатели и берут каждый множитель в наибольшей степени.
- Полезное тождество при приведении: $b - a = -(a - b)$.
Где чаще всего ошибаются
- Сокращают слагаемые: в $\dfrac{x + 2}{2}$ зачёркивают двойки.
- Не указывают область допустимых значений или находят её после сокращения, когда «опасный» множитель уже исчез.
- Вычитая дробь, меняют знак только первого слагаемого числителя.
- Приводя к общему знаменателю, домножают знаменатель и забывают про числитель.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Алгебра · 8 класс · Макарычев, 2024 · Глава 1 · Рациональные дроби. Сложение и вычитание дробей