Корень вводится как действие, обратное возведению в квадрат, но с важной оговоркой: значение у него всегда неотрицательное. Из этой оговорки растут почти все ошибки главы.
Что нужно знать
- Арифметический квадратный корень $\sqrt{a}$ — неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.
- Выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл только при $a \ge 0$.
- Из определения: $(\sqrt{a})^2 = a$ при $a \ge 0$.
- А вот $\sqrt{a^2} = |a|$ — модуль, а не само $a$: при отрицательном $a$ результат обязан остаться неотрицательным.
- Уравнение $x^2 = a$ при $a \gt 0$ имеет два корня $x = \pm\sqrt{a}$, при $a = 0$ один, при $a \lt 0$ ни одного.
- Функция $y = \sqrt{x}$ определена при $x \ge 0$, возрастает, её график — ветвь параболы.
- Числа вида $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ иррациональны: их нельзя записать обыкновенной дробью.
Где чаще всего ошибаются
- Пишут $\sqrt{a^2} = a$, теряя модуль, и получают отрицательное значение корня.
- Считают, что $\sqrt{4} = \pm 2$: у арифметического корня одно значение, два корня бывают у уравнения $x^2 = 4$.
- Извлекают корень из отрицательного числа.
- Решая $x^2 = 9$, записывают только $x = 3$.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Алгебра · 8 класс · Макарычев, 2024 · Глава 3 · Арифметический квадратный корень