Свойств всего два — для произведения и для частного, — и оба требуют следить за знаком подкоренного выражения. Для суммы и разности похожих свойств не существует, и это главное, что нужно запомнить.
Что нужно знать
- Корень из произведения: $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ при $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
- Корень из частного: $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ при $a \ge 0$ и $b \gt 0$.
- Для суммы аналогичного свойства нет: $\sqrt{a + b}$ не равно $\sqrt{a} + \sqrt{b}$.
- Вынесение множителя: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.
- Внесение под корень: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$ при $a \ge 0$; при отрицательном $a$ пишут $-\sqrt{a^2 b}$.
- Освобождение от иррациональности в знаменателе: домножают на сопряжённое, например $\dfrac{1}{\sqrt{3} - 1}$ на $\sqrt{3} + 1$.
- Подобные радикалы складывают как подобные слагаемые: $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.
Где чаще всего ошибаются
- Раскрывают $\sqrt{a + b}$ как сумму корней. Проверка на числах: $\sqrt{9 + 16} = 5$, а $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$.
- Вносят под корень отрицательный множитель, теряя минус.
- Складывают неподобные радикалы: $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ превращают в $\sqrt{5}$.
- Домножают на сопряжённое только знаменатель.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.