Центральная глава восьмого класса. Формула корней работает всегда, но начинать стоит не с неё: неполные уравнения решаются быстрее разложением, а дискриминант нужен, чтобы вообще понять, есть ли корни.
Что нужно знать
- Квадратное уравнение: $ax^2 + bx + c = 0$ при $a \ne 0$.
- Дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
- Корни: $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
- При $D \gt 0$ корней два, при $D = 0$ один, при $D \lt 0$ действительных корней нет.
- Неполное $ax^2 + bx = 0$ решают вынесением: $x(ax + b) = 0$, откуда $x = 0$ или $x = -\dfrac{b}{a}$.
- Неполное $ax^2 + c = 0$ сводится к $x^2 = -\dfrac{c}{a}$ и имеет корни только при неотрицательной правой части.
- Приведённое уравнение $x^2 + px + q = 0$ удобно решать через $x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\dfrac{p^2}{4} - q}$.
Где чаще всего ошибаются
- Теряют минус в числителе формулы и пишут $\dfrac{b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
- Считают дискриминант как $b^2 - 4c$, забывая множитель $a$.
- Решая $ax^2 + bx = 0$, делят обе части на $x$ и теряют корень $x = 0$.
- При отрицательном $D$ всё равно извлекают корень и записывают ответ.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Алгебра · 8 класс · Макарычев, 2024 · Глава 5 · Квадратное уравнение и его корни