Продолжение предыдущей главы: корни квадратного уравнения позволяют разложить трёхчлен на множители, а это, в свою очередь, инструмент для дробных уравнений. И здесь впервые появляются посторонние корни.
Что нужно знать
- Теорема Виета для приведённого уравнения $x^2 + px + q = 0$: $x_1 + x_2 = -p$, $x_1 x_2 = q$.
- В общем виде: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$, $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$.
- Разложение трёхчлена: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1, x_2$ — его корни.
- Если $D \lt 0$, на линейные множители трёхчлен не раскладывается.
- Дробное рациональное уравнение решают так: находят область допустимых значений, приводят к общему знаменателю, приравнивают нулю числитель.
- Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен.
- Корни, не входящие в область допустимых значений, называются посторонними и в ответ не включаются.
Где чаще всего ошибаются
- Путают знаки в теореме Виета: сумма равна $-p$, а не $p$.
- В разложении забывают множитель $a$ и пишут $(x - x_1)(x - x_2)$ для неприведённого трёхчлена.
- Не проверяют найденные корни на попадание в область допустимых значений и включают в ответ посторонний.
- Сокращают дробь на множитель с переменной, теряя ограничение.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Алгебра · 8 класс · Макарычев, 2024 · Глава 6 · Квадратный трёхчлен и дробные рациональные уравнения