Показатель степени перестаёт быть натуральным, и все привычные свойства продолжают работать — ради этого расширение и делается. Практический выход — стандартный вид числа, которым записывают очень большие и очень малые величины.
Что нужно знать
- Определение: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ при $a \ne 0$.
- $a^0 = 1$ при $a \ne 0$; выражение $0^0$ смысла не имеет.
- Все свойства степени сохраняются: $a^m a^n = a^{m+n}$, $a^m : a^n = a^{m-n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$, $(ab)^n = a^n b^n$.
- Удобное следствие: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$.
- Стандартный вид числа: $a \cdot 10^n$, где $1 \le a \lt 10$, а $n$ целое.
- Показатель $n$ называют порядком числа: он показывает, насколько число велико или мало.
- Примеры: $3\,200\,000 = 3{,}2 \cdot 10^6$, а $0{,}00045 = 4{,}5 \cdot 10^{-4}$.
Где чаще всего ошибаются
- Считают, что отрицательный показатель делает отрицательным само число: $2^{-3}$ равно $\dfrac{1}{8}$, а не $-8$.
- В стандартном виде оставляют множитель больше десяти или меньше единицы.
- Ошибаются со знаком порядка у малых чисел.
- Применяя свойства, вычитают показатели в неверном порядке.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Алгебра · 8 класс · Макарычев, 2024 · Глава 11 · Степень с целым показателем. Стандартный вид числа