На углублённом уровне многочлен — не только выражение, которое упрощают, но и объект, у которого есть корни и остаток от деления. Отсюда глава выводит связь между корнем и множителем.
Что нужно знать
- Степень многочлена — наибольшая степень его членов: у $3x^4 - 2x^2 + 7$ она 4.
- Произведение многочленов степеней 3 и 2 имеет степень 5.
- $(3x - 1)(x + 2) = 3x^2 + 5x - 2$: каждый член умножают на каждый.
- Значение при $x = -2$: $x^3 - 2x + 1 = -8 + 4 + 1 = -3$.
- Общий множитель: $6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$.
- Корень многочлена — значение $x$, при котором он равен нулю. $x^2 - 5x + 6$ обращается в нуль при 2 и 3.
- Остаток от деления многочлена на $x - a$ равен его значению при $x = a$ (теорема Безу). Для $x^2 + 3x + 5$ и $x + 1$ подставляют $x = -1$: остаток 3.
- Отсюда: если $a$ — корень, многочлен делится на $x - a$ без остатка.
Где чаще всего ошибаются
- Складывают степени многочленов при сложении, а не при умножении.
- Для деления на $x + 1$ подставляют $x = 1$.
- Теряют средний член при раскрытии скобок.
- Выносят за скобки не наибольший общий множитель.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.