Своя глава углублённого курса: делимость целых чисел и остатки. Ключевая мысль — с остатками можно считать, не вычисляя самих чисел: остаток суммы равен остатку суммы остатков.
Что нужно знать
- $100 = 7 \cdot 14 + 2$: остаток 2. Остаток всегда меньше делителя и неотрицателен.
- НОД(84; 126) = 42, НОК(15; 20) = 60; произведение НОД и НОК двух чисел равно произведению самих чисел.
- Двузначных кратных 15 шесть: от 15 до 90.
- Остаток суммы: $17 + 23$ даёт остатки 2 и 3 при делении на 5, их сумма 5 — остаток 0.
- Наименьшее двузначное с остатком 3 при делении на 7 — это $7 + 3 = 10$.
- $2 \equiv -1$ по модулю 3, поэтому $2^{10}$ даёт остаток $(-1)^{10} = 1$.
- Последние цифры степеней 7 повторяются с периодом 4: 7, 9, 3, 1. Показатель 100 кратен 4, и $7^{100}$ оканчивается на 1.
- Делимость на 4 — по двум последним цифрам; на 6 — одновременно на 2 и на 3.
Где чаще всего ошибаются
- Проверяют делимость на 6 только по чётности.
- Проверяют делимость на 4 по последней цифре.
- Вычисляют $2^{10}$ целиком вместо работы с остатками.
- Сбиваются в периоде последних цифр, начиная отсчёт с нуля.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Алгебра · 7 класс · Семенов, 2025 · Глава 6 · Делимость и остатки