Дробь с переменной имеет смысл не при всех значениях: знаменатель не должен обращаться в нуль. Это ограничение сохраняется и после сокращения — дробь стала проще, а запрет остался.
Что нужно знать
- $\dfrac{5}{x - 3}$ не определена при $x = 3$; у $\dfrac{1}{x^2 - 4}$ два запрещённых значения, $\pm 2$.
- Основное свойство: числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение.
- Сокращают только общие множители: $\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = x + 3$ при $x \ne 3$; при $x = 2$ это 5.
- $\dfrac{x^2 - 4}{x + 2} = x - 2$; $\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$.
- Сложение — через общий знаменатель: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$.
- $\dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{x + 2}$ при $x = 3$ даёт $1 + \dfrac15$.
- Деление — умножение на перевёрнутую дробь: $\dfrac{a}{b} : \dfrac{a}{c} = \dfrac{c}{b}$.
Где чаще всего ошибаются
- Сокращают слагаемые: в $\dfrac{x + 3}{x}$ «сокращают» $x$.
- Забывают о запрещённом значении после сокращения.
- Складывают числители и знаменатели по отдельности.
- Ищут только одно значение, обнуляющее $x^2 - 4$.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Алгебра · 8 класс · Семенов, 2025 · Глава 4 · Рациональные дроби