Дробное уравнение решают умножением на знаменатель, и это преобразование может добавить лишний корень. Поэтому ответ обязательно сверяют с областью допустимых значений.
Что нужно знать
- Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет: $\dfrac{x - 1}{x + 1} = 0$ при $x = 1$.
- $\dfrac{1}{x - 2} = 0$ корней не имеет: числитель никогда не равен нулю.
- $\dfrac{x}{x - 2} = 3$: $x = 3x - 6$, $x = 3$ — допустимо.
- $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = 5$: $x + 2 = 5$, $x = 3$; значение $x = 2$ было бы посторонним.
- Посторонний корень появляется, потому что умножение на выражение, которое может быть нулём, расширяет множество решений.
- Многоэтажная дробь: $\left(\dfrac12 + \dfrac13\right) : \dfrac16 = 5$.
- Совместная работа: производительности складываются. $\dfrac16 + \dfrac1{12} = \dfrac14$ — вместе за 4 часа.
Где чаще всего ошибаются
- Не проверяют корень по знаменателю.
- Складывают время работы вместо производительностей: 6 + 12.
- Приравнивают к нулю знаменатель, а не числитель.
- Считают, что у $\dfrac{1}{x - 2} = 0$ корень 2.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Алгебра · 8 класс · Семенов, 2025 · Глава 5 · Рациональные выражения и уравнения