Вторая глава об остатках превращает их в систему счёта: остатки можно складывать и перемножать, а у степеней они повторяются с периодом. Так находят последнюю цифру огромных чисел.
Что нужно знать
- Остаток произведения равен остатку произведения остатков: $7 \cdot 8$ даёт при делении на 5 остаток $2 \cdot 3 = 6 \to 1$.
- Остаток суммы: $23 + 37 = 60$ делится на 6, остаток 0.
- $3 \equiv -1$ по модулю 4: $3^5$ даёт остаток $(-1)^5 \to 3$.
- Остатки $2^n$ при делении на 5 повторяются: 2, 4, 3, 1. У $2^{100}$ показатель кратен 4 — остаток 1.
- Последние цифры $3^n$: 3, 9, 7, 1 — $3^{20}$ оканчивается на 1. У $2^n$: 2, 4, 8, 6 — при $2026 = 4 \cdot 506 + 2$ последняя цифра 4.
- Квадрат нечётного числа даёт при делении на 4 остаток 1.
- $10 \equiv 1$ по модулю 9, поэтому любая степень 10 даёт остаток 1 — отсюда признак делимости на 9.
- Числа от 1 до 100 с остатком 2 при делении на 7: $2 + 7k$, $k$ от 0 до 14 — всего 15.
Где чаще всего ошибаются
- Берут остаток $-1$ как окончательный ответ, не переведя в 3.
- Сбиваются, отсчитывая место в периоде: при остатке 0 берут первую цифру периода, а нужна последняя.
- Считают, что квадрат нечётного числа даёт остаток 3.
- Теряют $k = 0$ при подсчёте чисел с данным остатком.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Алгебра · 8 класс · Семенов, 2025 · Глава 8 · Арифметика остатков