Арифметика остатков, 8 класс — тест по восьмой главе

Глава, которой нет в базовом курсе. Остатки можно складывать и умножать, не вычисляя самих чисел, — и это превращает задачи о гигантских степенях в устный счёт. Материал олимпиадный по происхождению, но в углублённом курсе он идёт как обычная тема со своей техникой.

Что проверяется

Остаток произведения и суммы через остатки множителей и слагаемых. Остатки степеней и их периодичность. Последняя цифра большой степени — та же периодичность, только по модулю десять. Остаток квадрата нечётного числа при делении на четыре: результат один и тот же для любого нечётного числа, и это стоит увидеть. Подсчёт чисел с заданным остатком в диапазоне.

Главный приём

Найти период. Остатки степеней всегда повторяются, и длина цикла обычно невелика: у двойки по модулю пять цикл из четырёх, у тройки по модулю десять тоже из четырёх. Дальше показатель делят на длину цикла с остатком и берут нужный элемент. Именно так решаются задания о сотой и о двухтысячной степени, которые прямым вычислением недоступны.

Зачем это нужно

Помимо олимпиад, арифметика остатков — рабочий инструмент в задачах о делимости, в доказательствах невозможности (число такого-то вида не может быть точным квадратом) и в уравнениях в целых числах. В девятом классе она встретится снова, уже без объяснений.

Проверка

Ответ — целое число: остаток, цифра или количество чисел. После сдачи открывается разбор с выписанным циклом остатков. Баллы переводятся в отметку по шкале пятьдесят, семьдесят и восемьдесят пять процентов набранных баллов.

Как проходит работа

Задания открываются в браузере на компьютере, планшете или мобильном телефоне, поэтому подойдёт любое устройство под рукой. Учитель может задать период, в течение которого доступен тест, поэтому его допустимо выполнять и дома. Предусмотрен контроль честности: переключение на другие вкладки и приложения во время теста отслеживается.