Метод интервалов решает любое неравенство вида «произведение или частное сравнить с нулём»: найти нули, расставить их на прямой и определить знак на каждом промежутке.
Что нужно знать
- $x^2 - 5x + 6 \lt 0$: нули 2 и 3, ветви вверх — решение между нулями, $(2; 3)$; целых решений нет.
- $x^2 + 2x - 3 \lt 0$: нули $-3$ и 1, целые $-2$, $-1$, 0.
- $x^2 - 4 \le 0$: $[-2; 2]$, целых 5 — концы входят.
- $x^2 \gt 9$ — два луча, $x \lt -3$ или $x \gt 3$: на $[-5; 5]$ это $\pm 4$, $\pm 5$.
- $\dfrac{x - 2}{x + 3} \ge 0$: нуль знаменателя $-3$ выколот всегда, нуль числителя 2 входит. Решение: $x \lt -3$ или $x \ge 2$.
- $x^2 + x + 1$ положителен при всех $x$: $D \lt 0$, ветви вверх.
- $x^2 + a \gt 0$ при всех $x$, только если $a \gt 0$: наименьшее целое $a = 1$.
Где чаще всего ошибаются
- Включают нуль знаменателя в ответ нестрогого неравенства.
- Для $x^2 \gt 9$ пишут $x \gt \pm 3$.
- Берут промежуток вне нулей при ветвях вверх и знаке «меньше».
- Считают, что при $a = 0$ неравенство $x^2 + a \gt 0$ верно всегда: при $x = 0$ оно ложно.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Алгебра · 9 класс · Семенов, 2025 · Глава 2 · Квадратные и рациональные неравенства