Биквадратные и дробные уравнения сводят к квадратным заменой или умножением на знаменатель. Замена экономит работу, но каждый её корень нужно вернуть к исходной переменной и проверить.
Что нужно знать
- Биквадратное $ax^4 + bx^2 + c = 0$ решают заменой $t = x^2$, $t \ge 0$.
- $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$: $t = 1$ или 4, то есть $x = \pm 1$, $\pm 2$ — четыре корня, наибольший 2, сумма 0.
- $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$: $t = 4$ или 9, наибольший корень 3.
- $x^4 - 16 = 0$: $x^2 = 4$ или $x^2 = -4$; действительных корней два.
- $x^4 + 3x^2 + 2 = 0$: оба значения $t$ отрицательны — корней нет.
- $\dfrac{x}{x - 1} = 2$: $x = 2$. $\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = 3$: $x + 1 = 3$, $x = 2$.
- Текстовая задача: числа $n$ и $n + 5$ с произведением 84 — $n^2 + 5n - 84 = 0$, $n = 7$, большее число 12.
Где чаще всего ошибаются
- Останавливаются на значениях $t$ и не возвращаются к $x$.
- Извлекают корень из отрицательного $t$.
- Находят только положительные корни биквадратного уравнения.
- Берут в ответ отрицательный корень там, где числа натуральные.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Алгебра · 9 класс · Семенов, 2025 · Глава 3 · Уравнения, сводящиеся к квадратным