Уравнения, сводящиеся к квадратным — 9 класс

Глава о том, как незнакомое уравнение сводится к знакомому. Замена переменной превращает биквадратное уравнение в квадратное, а умножение на знаменатель — дробно-рациональное в целое. Оба приёма требуют аккуратности: первый — возврата к исходной переменной, второй — проверки области допустимых значений.

Что проверяется

Биквадратные уравнения: число корней и наибольший корень. Случай, когда после замены один из корней вспомогательного уравнения отрицателен и потому не даёт решений. Дробно-рациональные уравнения, сводящиеся к линейным. Уравнение с сокращающейся дробью и вниманием к выколотой точке. Текстовая задача, приводящая к квадратному уравнению. Сумма корней биквадратного уравнения — задание, где ответ виден из симметрии, без вычислений.

Замена переменной

Главная ошибка — остановиться на значениях вспомогательной переменной. Найдя, что «тэ равно четырём», ученик записывает четвёрку в ответ, хотя искали икс, а из тэ равного четырём получаются два значения икса. В работе есть задание на число корней биквадратного уравнения — там такая остановка сразу видна по ответу.

Симметрия корней

Биквадратное уравнение содержит только чётные степени, поэтому его корни расположены симметрично относительно нуля, и сумма всех корней равна нулю. Увидев это, ученик отвечает мгновенно; не увидев — считает четыре корня и складывает. Оба пути ведут к верному ответу, но первый показывает понимание.

Проверка

Ответ — число: корень, их количество или величина из условия задачи. Дробную часть можно писать через запятую или точку. Баллы переводятся в отметку по шкале пятьдесят, семьдесят и восемьдесят пять процентов.

Организация тестирования

Работа доступна и на компьютере, и на мобильном телефоне: интерфейс сам подстраивается под размер экрана. Поскольку для работы можно указать окно выполнения, ученики вправе проходить её дистанционно, из дома. Система контроля добросовестности регистрирует переходы в посторонние вкладки и приложения во время выполнения.