Нелинейная система — это пересечение кривых: окружности и прямой, параболы и гиперболы. Графическая картина говорит, сколько решений ждать, а алгебра находит их точно.
Что нужно знать
- Решение системы — координаты общих точек графиков уравнений.
- Подстановка: выразить переменную из простого уравнения, подставить в другое, решить, найти вторую переменную.
- $x + y = 5$, $xy = 6$ — по Виете это корни $t^2 - 5t + 6$: 2 и 3.
- $x^2 + y^2 = r^2$ — окружность радиуса $r$ с центром в начале; $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$ — центр $(2; -3)$, радиус 4.
- Окружность $x^2 + y^2 = 25$ и прямая $y = 5$ касаются: одно решение.
- Разность квадратов упрощает: $x - y = 2$ и $x^2 - y^2 = 20$ дают $x + y = 10$, откуда $x = 6$.
- $x + y = 12$ и $x^2 - y^2 = 48$: $x - y = 4$, $x = 8$.
Где чаще всего ошибаются
- Берут радиусом окружности 16 вместо 4.
- Из $(y + 3)^2$ записывают координату центра $+3$.
- Находят одну пару решений там, где их две.
- Не пользуются разностью квадратов и решают громоздко.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 12 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Алгебра · 9 класс · Семенов, 2025 · Глава 4 · Системы уравнений с двумя переменными