Дробный показатель — другая запись корня: знаменатель — степень корня, числитель — степень числа. Вычислять удобнее всего в таком порядке: сначала корень, потом степень.
Что нужно знать
- $\sqrt[n]{a}$ — число, $n$-я степень которого равна $a$: $\sqrt[3]{8} = 2$, $\sqrt[4]{81} = 3$, $\sqrt[5]{32} = 2$.
- Корень чётной степени извлекают только из неотрицательных чисел; нечётной — из любых.
- $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ при $a \gt 0$.
- $16^{\frac34} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8$; $27^{\frac23} = 3^2 = 9$; $4^{\frac32} = 2^3 = 8$.
- $16^{\frac12} = 4$ — это просто квадратный корень.
- $125^{-\frac13} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{125}} = \dfrac15$.
- $(\sqrt{2})^4 = 2^2 = 4$.
- Свойства степеней с рациональным показателем те же, что у целых.
Где чаще всего ошибаются
- Путают роли числителя и знаменателя показателя.
- Сначала возводят в степень, получая громоздкое число, и ошибаются в корне.
- Считают отрицательный показатель знаком результата.
- Извлекают корень чётной степени из отрицательного числа.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Алгебра · 9 класс · Семенов, 2025 · Глава 6 · Корень n-й степени и рациональный показатель