Подобие — равенство «с точностью до масштаба». Отсюда пропорции в задачах на тень и высоту дерева, отсюда же первые тригонометрические отношения: синус и косинус вводятся именно как отношения сторон.
Что нужно знать
- Треугольники подобны, если их углы соответственно равны, а стороны пропорциональны; число $k$ — коэффициент подобия.
- Первый признак: по двум равным углам.
- Второй признак: по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
- Третий признак: по трём пропорциональным сторонам.
- Отношение периметров подобных треугольников равно $k$, а отношение площадей — $k^2$.
- Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разбивает его на два подобных исходному.
- Для острого угла прямоугольного треугольника: синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего к гипотенузе, тангенс — противолежащего к прилежащему. Основное тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Где чаще всего ошибаются
- Считают отношение площадей равным коэффициенту подобия, а не его квадрату.
- Путают синус и косинус: к гипотенузе относятся оба, различаются они тем, какой катет взят.
- Составляют пропорцию, перепутав порядок соответственных сторон.
- Применяют тригонометрические отношения к непрямоугольному треугольнику.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 8 класс · Атанасян, 2023 · Глава VII · Подобные треугольники