Окружность добавляет к треугольнику новые связи: касательные, вписанные углы и четыре замечательные точки. Факт про вписанный угол, опирающийся на диаметр, — один из самых часто используемых на экзамене.
Что нужно знать
- Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
- Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, и прямая, соединяющая эту точку с центром, делит угол между ними пополам.
- Центральный угол равен дуге, на которую опирается.
- Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
- Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
- В любой треугольник можно вписать окружность (центр — точка пересечения биссектрис) и вокруг любого описать (центр — точка пересечения серединных перпендикуляров).
- Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны $180^\circ$; вписать — когда равны суммы противоположных сторон.
Где чаще всего ошибаются
- Приравнивают вписанный угол центральному, забыв про половину.
- Меняют местами условия для вписанного и описанного четырёхугольника: про углы — описанная окружность, про стороны — вписанная.
- Считают центром описанной окружности точку пересечения медиан.
- Применяют равенство отрезков касательных к касательным из разных точек.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 8 класс · Атанасян, 2023 · Глава VIII · Окружность