Вектор — направленный отрезок, и это первый объект курса, который можно складывать. Векторный язык позволяет доказывать геометрические факты вычислением, без чертежа и без перебора случаев.
Что нужно знать
- Вектор задаётся длиной и направлением; длину называют модулем и обозначают $|\vec{a}|$.
- Векторы коллинеарны, если лежат на параллельных прямых или на одной прямой; они могут быть сонаправленными или противоположно направленными.
- Векторы равны, если сонаправлены и имеют равные модули. Точка приложения роли не играет.
- Правило треугольника: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
- Правило параллелограмма применяют к векторам, отложенным от одной точки.
- Разность: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$, где $-\vec{b}$ противоположен $\vec{b}$.
- Произведение на число $k$ даёт вектор той же прямой длиной $|k| \cdot |\vec{a}|$; при $k \lt 0$ направление меняется на противоположное.
Где чаще всего ошибаются
- Считают равными векторы одинаковой длины, не проверив направление.
- Полагают, что модуль суммы равен сумме модулей: это верно только для сонаправленных векторов.
- Применяют правило параллелограмма к векторам, отложенным от разных точек.
- Путают коллинеарность с совпадением прямых.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.