Тригонометрия выходит за пределы прямоугольного треугольника: теперь углы бывают тупыми, а решать можно любой треугольник. Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора — при прямом угле она в неё и превращается.
Что нужно знать
- Для углов от $0^\circ$ до $180^\circ$ синус, косинус и тангенс задают через координаты точки единичной полуокружности.
- Основное тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
- Формулы приведения: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, а $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$. Косинус тупого угла отрицателен.
- Площадь треугольника: $S = \dfrac{1}{2}ab \sin C$.
- Теорема синусов: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$, где $R$ — радиус описанной окружности.
- Теорема косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$.
- При $C = 90^\circ$ косинус равен нулю, и теорема косинусов даёт теорему Пифагора.
Где чаще всего ошибаются
- Ставят в теореме косинусов плюс перед $2ab\cos C$.
- Считают косинус тупого угла положительным и получают завышенную сторону.
- Берут в формуле площади угол, не лежащий между сторонами $a$ и $b$.
- По теореме синусов находят угол и берут только острое значение, хотя синус не различает угол и его дополнение до $180^\circ$.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 9 класс · Атанасян, 2023 · Глава XI · Теоремы синусов и косинусов