Правильные многоугольники и переход к окружности как к их пределу. Практический итог главы — четыре формулы, в которых легко перепутать, где длина, где площадь, где весь круг, а где его часть.
Что нужно знать
- Правильный многоугольник имеет равные стороны и равные углы; около него можно описать и в него можно вписать окружность, причём центры совпадают.
- Угол правильного $n$-угольника равен $\dfrac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$.
- Сторона через радиус описанной окружности: $a_n = 2R \sin \dfrac{180^\circ}{n}$.
- Длина окружности: $C = 2\pi R$.
- Длина дуги в $\alpha$ градусов: $l = \dfrac{\pi R \alpha}{180}$.
- Площадь круга: $S = \pi R^2$.
- Площадь кругового сектора: $S = \dfrac{\pi R^2 \alpha}{360}$.
Где чаще всего ошибаются
- Путают длину окружности и площадь круга. Подсказка: в площади радиус в квадрате, в длине — в первой степени.
- Делят на $360$ при вычислении длины дуги и на $180$ при вычислении площади сектора — знаменатели перепутаны.
- Подставляют диаметр вместо радиуса.
- Считают правильным любой многоугольник с равными сторонами: у ромба стороны равны, а углы нет.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 9 класс · Атанасян, 2023 · Глава XII · Длина окружности и площадь круга