Здесь появляется теорема о трёх перпендикулярах — самый используемый инструмент стереометрии. Она позволяет свести пространственную задачу к планиметрической: работать не с наклонной, а с её проекцией.
Что нужно знать
- Перпендикуляр из точки к плоскости — отрезок до основания, лежащего в плоскости; любой другой отрезок из этой точки к плоскости называется наклонной, а отрезок между основаниями — её проекцией.
- Перпендикуляр короче любой наклонной; равным наклонным отвечают равные проекции, большей наклонной — большая проекция.
- Теорема о трёх перпендикулярах: прямая в плоскости перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна её проекции.
- Углом между прямой и плоскостью называют угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.
- Этот угол — наименьший из углов между данной прямой и прямыми плоскости; он не превосходит $90^\circ$.
- Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней, угол считают равным нулю.
- Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра.
Где чаще всего ошибаются
- Применяют теорему о трёх перпендикулярах, не убедившись, что прямая лежит в плоскости проекции.
- Считают углом между прямой и плоскостью угол с любой прямой этой плоскости, а не с проекцией.
- Берут расстоянием от точки до плоскости длину наклонной.
- Строят проекцию не перпендикулярно плоскости.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.