Короткая глава с неожиданным результатом: правильных многогранников ровно пять, и больше их быть не может. Это доказанный факт, а не перечень известных примеров.
Что нужно знать
- Многогранник правильный, если все его грани — равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер.
- Таких многогранников ровно пять: тетраэдр, куб (гексаэдр), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
- Тетраэдр: 4 треугольные грани, 4 вершины, 6 рёбер.
- Куб: 6 квадратов, 8 вершин, 12 рёбер. Октаэдр: 8 треугольников, 6 вершин, 12 рёбер.
- Додекаэдр: 12 правильных пятиугольников. Икосаэдр: 20 правильных треугольников.
- Теорема Эйлера для выпуклого многогранника: $В - Р + Г = 2$, где $В$ — число вершин, $Р$ — рёбер, $Г$ — граней.
- Около каждого правильного многогранника можно описать сферу и в каждый вписать сферу, причём центры совпадают.
Где чаще всего ошибаются
- Называют правильной любую пирамиду с правильным основанием: у неё боковые грани не равны основанию.
- Считают правильным параллелепипед с равными рёбрами, забыв, что грани должны быть квадратами.
- Путают число граней и число вершин у октаэдра и куба — у них эти числа меняются местами.
- Применяют теорему Эйлера к невыпуклым многогранникам.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 10 класс · Атанасян, 2024 · Глава 10 · Правильные многогранники