Векторы переносятся в пространство почти без изменений, но добавляется новое понятие — компланарность. Это пространственный аналог коллинеарности, и путать их нельзя: коллинеарность про прямую, компланарность про плоскость.
Что нужно знать
- Определения вектора, равенства, сложения и умножения на число те же, что и на плоскости.
- Векторы называются компланарными, если при откладывании от одной точки они окажутся в одной плоскости.
- Любые два вектора всегда компланарны; вопрос возникает начиная с трёх.
- Признак компланарности: если вектор $\vec{c}$ можно разложить как $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ при неколлинеарных $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то все три компланарны.
- Правило параллелепипеда: сумма трёх некомпланарных векторов, отложенных от одной вершины, равна диагонали построенного на них параллелепипеда.
- Любой вектор пространства единственным образом раскладывается по трём данным некомпланарным векторам.
- Правило треугольника и многоугольника работают и в пространстве.
Где чаще всего ошибаются
- Путают компланарность с коллинеарностью и считают компланарными только параллельные векторы.
- Проверяют компланарность двух векторов, хотя два вектора компланарны всегда.
- Применяют правило параллелограмма к трём векторам вместо правила параллелепипеда.
- Раскладывают вектор по трём компланарным векторам, где разложение не единственно.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 10 класс · Атанасян, 2024 · Глава 11 · Векторы в пространстве