Метод координат в пространстве: те же формулы, что в девятом классе, с добавленной третьей координатой. Забытая координата $z$ — самая частая ошибка главы, и она не выглядит ошибкой, потому что ответ получается правдоподобный.
Что нужно знать
- Прямоугольная система координат в пространстве задаётся тремя попарно перпендикулярными осями $Ox$, $Oy$, $Oz$ с общим началом.
- Координаты вектора равны разностям координат конца и начала: $\vec{AB}\,(x_B - x_A;\ y_B - y_A;\ z_B - z_A)$.
- При сложении векторов координаты складываются, при умножении на число умножаются на это число.
- Длина вектора: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
- Расстояние между точками: $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.
- Координаты середины отрезка — средние арифметические координат концов по каждой оси.
- Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны.
Где чаще всего ошибаются
- Считают длину вектора по двум координатам, забыв про $z$.
- Берут координатами вектора координаты конца, не вычитая начало.
- Проверяют коллинеарность по двум координатам из трёх.
- Путают координаты точки и координаты её радиус-вектора при смещённом начале отсчёта.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 11 класс · Атанасян, 2024 · Глава 1 · Координаты точки и координаты вектора