Скалярное произведение векторов — тест

Найти угол между скрещивающимися рёбрами без чертежа? Скалярное произведение даёт ответ по координатам, и строить ничего не нужно.

Что проверяется

Угол между векторами и его отличие от угла между прямыми. Скалярное произведение векторов: определение через длины и косинус угла, вычисление по координатам, скалярный квадрат. Свойства скалярного произведения и их применение при преобразовании выражений. Условие перпендикулярности векторов через равенство нулю скалярного произведения. Вычисление косинуса угла между векторами по координатам, определение вида угла по знаку произведения. Применение скалярного произведения к нахождению угла между прямыми, включая скрещивающиеся, и угла между прямой и плоскостью через нормальный вектор. Уравнение плоскости и вектор, перпендикулярный плоскости. Задачи на куб и прямоугольный параллелепипед координатным методом, вычисление расстояний и углов без построения вспомогательных сечений.

Угол между векторами и угол между прямыми

Угол между векторами может быть тупым, а угол между прямыми — никогда. Поэтому при переходе к прямым берут модуль косинуса.

Ноль означает перпендикулярность

Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они перпендикулярны. Это самая быстрая проверка перпендикулярности в координатах.

Как устроена работа

Одиннадцать заданий: выбор варианта, соответствие между парой векторов и знаком их скалярного произведения, восстановление пропусков, упорядочивание шагов нахождения угла и вычисления произведений и косинусов. Разбор к каждому заданию показывает ход вычислений. Работа рассчитана примерно на двадцать пять минут, отметка выставляется по шкале пятьдесят, семьдесят и восемьдесят пять процентов. Отдельные вопросы посвящены скалярному квадрату и вектору нормали.

Где и как проходить тест

Работа доступна и на компьютере, и на мобильном телефоне: интерфейс сам подстраивается под размер экрана. Учитель может задать период, в течение которого доступен тест, поэтому его допустимо выполнять и дома. Чтобы снизить риск списывания, фиксируются попытки переключиться на другие вкладки браузера или другие приложения.