Скалярное произведение переводит углы в арифметику. Его главная польза в задачах — признак перпендикулярности: две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их направляющих векторов равно нулю.
Что нужно знать
- Скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами.
- В координатах: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.
- Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
- Скалярный квадрат равен квадрату длины: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.
- Косинус угла между векторами: $\cos \alpha = \dfrac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$.
- Для угла между прямыми берут модуль косинуса: угол между прямыми не превосходит $90^\circ$.
- Угол между прямой и плоскостью находят через нормальный вектор плоскости: синус искомого угла равен модулю косинуса угла с нормалью.
Где чаще всего ошибаются
- Не берут модуль косинуса, находя угол между прямыми, и получают тупой угол.
- Наоборот, берут модуль там, где нужен угол между векторами, и теряют знак.
- Складывают произведения координат с чередующимися знаками, путая скалярное произведение с другими формулами.
- Для угла с плоскостью используют косинус вместо синуса.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 11 класс · Атанасян, 2024 · Глава 2 · Скалярное произведение векторов