В формулах конуса участвует образующая, а не высота, и их постоянно путают. Связывает их теорема Пифагора — тот же прямоугольный треугольник, что и в осевом сечении.
Что нужно знать
- Конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг катета.
- Образующая $l$, радиус $R$ и высота $h$ связаны: $l^2 = R^2 + h^2$.
- Осевое сечение — равнобедренный треугольник с основанием $2R$ и боковыми сторонами $l$.
- Боковая поверхность: $S_{\text{бок}} = \pi R l$. Развёртка — круговой сектор.
- Полная поверхность: $S_{\text{полн}} = \pi R l + \pi R^2 = \pi R (l + R)$.
- Объём конуса: $V = \dfrac{1}{3} \pi R^2 h$ — здесь именно высота.
- Усечённый конус: $S_{\text{бок}} = \pi (R + r) l$, $V = \dfrac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$.
Где чаще всего ошибаются
- Подставляют высоту вместо образующей в формулу боковой поверхности.
- Подставляют образующую вместо высоты в формулу объёма.
- Забывают множитель $\dfrac{1}{3}$ в объёме.
- Считают осевое сечение конуса прямоугольником, как у цилиндра.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 11 класс · Атанасян, 2024 · Глава 5 · Конус и усечённый конус