Сфера — поверхность, шар — тело; у них разные формулы, и путают их чаще всего. Отдельно стоит запомнить связь радиусов при сечении: она сводит задачу к прямоугольному треугольнику.
Что нужно знать
- Сфера — множество точек пространства, удалённых от центра на расстояние $R$; шар — тело, ограниченное сферой.
- Уравнение сферы с центром $(x_0; y_0; z_0)$: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.
- Площадь сферы: $S = 4\pi R^2$.
- Объём шара: $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$.
- Сечение шара плоскостью — круг; если $d$ — расстояние от центра до плоскости, то радиус сечения $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.
- Плоскость касается сферы, если расстояние от центра до неё равно $R$; касательная плоскость перпендикулярна радиусу в точке касания.
- Сечение, проходящее через центр, называется большим кругом и имеет наибольший возможный радиус.
Где чаще всего ошибаются
- Путают $4\pi R^2$ и $\dfrac{4}{3}\pi R^3$: в площади квадрат, в объёме куб.
- Считают радиус сечения равным радиусу шара.
- Складывают $R^2$ и $d^2$ вместо вычитания.
- Называют шаром саму сферическую поверхность.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 11 класс · Атанасян, 2024 · Глава 6 · Сфера и шар