Все объёмы этой главы считаются по одной схеме: площадь основания умножить на высоту. Различается только то, как считается основание, и что в данной фигуре считать высотой.
Что нужно знать
- Объём прямоугольного параллелепипеда: $V = abc$, где $a$, $b$, $c$ — его измерения. Объём куба: $V = a^3$.
- Общая формула для призмы: $V = S_{\text{осн}} \cdot h$, где $h$ — высота, то есть расстояние между плоскостями оснований.
- У прямой призмы высота совпадает с боковым ребром; у наклонной — нет.
- Объём цилиндра: $V = \pi R^2 h$ — та же схема, основание круг.
- Равновеликие тела имеют равные объёмы; равные тела равновелики, обратное неверно.
- Объём аддитивен: объём тела равен сумме объёмов частей, на которые оно разбито.
- При подобии с коэффициентом $k$ объёмы относятся как $k^3$, а площади поверхностей как $k^2$.
Где чаще всего ошибаются
- Берут высотой наклонной призмы боковое ребро.
- Подставляют диаметр вместо радиуса в объём цилиндра.
- Считают, что при увеличении рёбер вдвое объём тоже растёт вдвое: он растёт в восемь раз.
- Складывают объёмы, заданные в разных единицах.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 11 класс · Атанасян, 2024 · Глава 7 · Объём параллелепипеда, прямой призмы и цилиндра